พหุนาม คือ อะไร
พหุนาม (Polynomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเอกนามหรือผลบวกของบวกหรือการลบของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป พหุนาม = เอกนาม1 + เอกนาม2 + เอกนาม3 + ... เอกนามn |
ตัวอย่าง
พหุนาม
|
เกิดจาก
|
a + 2
|
2 เอกนามบวกกัน
|
x + xy
|
2 เอกนามบวกกัน
|
x2 - 3x + 4
|
เกิดจาก 3 เอกนามบวก-ลบกัน
|
x2 + xy – y2 + 1
|
เกิดจาก 4 เอกนามบวก-ลบกัน
|
ดีกรีหรือกำลังของพหุนาม ให้เอาดีกรีสูงสุดของเอกนามเป็นดีกรีของพหุนาม
ตัวอย่าง
พหุนาม
|
ดีกรีของพหุนาม
| ดูจาก |
x3 +5x2
|
3
|
x3
|
x4 +x2 -4
|
4
|
x4
|
4 – x4 + x5
|
5
|
x5
|
xy – 8
|
2
|
xy
|
x2y – 5x2
|
3
|
x2y
|
x5 + x4y3
|
7
|
x4y3
|
a2b + 4ab2 - a2b2
|
4
|
a2b2
|
ตัวอย่างการคำนวณตัวอย่างชุดที่ 1 การบวกพหุนาม ใช้หลักการ นำเอกนามที่เหมือนกันมาบวกกัน
1) (a + 7) + (3a – 4) = a + 7 + 3a – 4 = 4a – 3 | 2) (5a +b) + (a –b) = 5a +b +a –b = 6a |
3) (6a2 + 3) + (a – 2a2) = 6a2 +3 -a –2a2 = 4a2 –a +3 | 4) (x2 +5x –7) + (2x2 –x +10) = x2 +5x –7 + 2x2 –x +10 = 3x2+4x +3 |
5) (x3 + x2 -4) + (x3 +7x2 -5x) = x3 + x2 -4 + x3 +7x2 -5x = 2x3 + 8x2 -5x -4 | 6) (x + 6y) + (2x – 8y) + (5x + y) = x + 6y + 2x – 8y + 5x + y = 8x - y |
สมบัติที่ต้องทราบเพิ่มเติม คือ
1) a(b + c) = ab + ac เรียกว่า สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย
2) -(a - b) = -a + b
ตัวอย่างชุดที่ 2 การลบพหุนาม
1) (5x – 3) – (2x –7) = 5x –3 –2x +7 = 3x + 4 | 2) (2x –y) – (5x –y) = 2x –y –5x +y = -3y |
3) 4(x +1) -2(x +5) = 4x +4 –2x –10 = 2x –6 | 4) 3(x2 -2x -4) – (x2 -5x +7) = 3x2 -6x –12 –x2 +5x -7 = 2x2 -x -19 |
5) -5(x3 –7x) +6(x2 +5) – (–9x3 +4x2) = -5x3 +35x +6x2 +30 +9x3 –4x2 = 4x3 +2x2 +35x +30 | 6) (11x3 +5x2 -8x –15) – 5(2x3 +x2 -4x -3) = 11x3 +5x2 -8x –15 –10x3 -5x2 +20x +15 = x3 +12x |
การคูณเอกนามกับพหุนาม หลักการ ใช้สมบัติการแจกแจงมาใช้ด้วยตัวอย่างที่ 1
1) 2(x +4) = 2x +8 | 2) 3(x –2y +1) = 3x –6y +3 |
3) -7(x2 + 3xy -4) = -7x2 -21xy + 28 | 4) -5(2x3 +8x2 –x +4) = -10x3 -40x2 +5x -20 |
5) 2(x -7) + 3(x +2y) = 2x –14 +3x +6y = 5x +6y –14 | 6) 5(x –4) -2(x+7) = 5x –20 -2x -14 = 3x -34 |
7) (10a -5) – (b -5) = 10a –5 –b +5 = 10a –b | 8) 5m –2(3n +8m) = 5m -6n –16m = -11m –6n |
9) -4(a +2b -C) + 2(a -5b -2c) = -4a –8b +4c +2a -10b -4c = -2a –18b | 10) 3(x3 +x2 -2) -2(x3 +x2 +4) = 3x3 +3x2 -6 –2x3 -2x2 -8 = x3 + x2 -14 |
11) 7(x2 +3xy + 4x2y) –7(x2 –5xy + x2y) = 7x2 +21xy + 28x2y –7x2 +35xy –7x2y = 56xy + 21x2y |
ตัวอย่างชุดที่ 2
1) x(x2 + 2x -1) = x3 + 2x2 – x
2) x2(x2 – x – y) = x4 – x3 –x2y
3) 2x(x5 + 3) = 2x6 + 6x
4) 3y2(y2 + y - 5) = 3y4 + 3y3 -15y2
5) -2x3(x2 + 5xy – y) = -2x5 – 10x4y +2x3y
6) xy(x2 + xy – y3) = x3y + x2y2 – xy4
7) a2b2(a2 + a2b3 – b4) = a4b2 a4b5 – a2b6
8) -6ab5(a +4a2b – 2b) = -6a2b5 -24a3b6 +12ab6
การคูณพหุนามกับพหุนาม หลักการที่นำมาใช้คือ (a +b)(x +y) = a(x +y) + b(x +y) = ax +ay +bx +byตัวอย่างชุดที่ 3
1) (x +3)(x +5) = x(x +5) +3(x +5) = x2 +5x +3x +15 = x2 +8x +15 | 2) (x -7)(x+7) = x(x +7) -7(x+7) = x2 +7x -7x -49 = x2 –49 |
3) (2x +3)(x -1) = 2x(x-1) +3(x-1) = 2x2 -2x +3x -3 = 2x2 +x –3 | 4) (x2 +4)(x -3) = x2(x-3) +4(x-3) = x3 –3x2 +4x -12 |
5) (x2 +4)(x2 -6) = x2(x2 -6) +4(x2 -6) = x4 -6x2 + 4x2 -24 = x4 -2x2 -24 | 6) (x +3)(x +y -3) = x(x +y -3) +3(x +y -3) = x2 +xy -3x +3x +3y –9 = x2 +xy + 3y – 9 |
7) (ab +4)(a +3) = ab(a + 3) +4(a +3) = a2b +3ab +4a + 12 | 8) (a2 +b)(a2 -b) = a2(a2 -b) +b(a2 -b) = a4 –a2b +a2b –b2 = a4 –b2 |
9) (a -5)(a2 –a +8) = a(a2 –a +8) -5(a2 –a +8) = a3 –a2 +8a -5a2 +5a - 40 = a3 -6a2 +13a -40 | 10) (a -1)(a +2)(a -3) = {a(a+2) –(a+2)}(a-3) = {a2 + 2a –a -2}(a-3) = (a2 +a -2)(a -3) = (a2 +a -2)(a) + (a2 +a -2)(-3) = a3 +a2 -2a -3a2 -3a +6 = a3 -2a2 -5a +6 |
การหารพหุนาม
การหารพหุนามมีแนวคิดและทำคล้ายกับการคูณและหารเศษส่วน คือ ใช้หลักการว่า
การหารพหุนามมีแนวคิดและทำคล้ายกับการคูณและหารเศษส่วน คือ ใช้หลักการว่า
ตัวอย่างชุดที่ 1
ตัวอย่างชุดที่ 2 ใช้ความรู้เรื่องเลขยกกำลังมาใช้ร่วมกันกับการแยกเศษส่วน
ตัวอย่างชุดที่ 3 ใช้หลักการหารที่ว่า
เศษส่วนที่มีเครื่องหมายหารอยู่ด้านหน้าให้เปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นคูณ และสลับเศษส่วน |
ตัวอย่างชุดที่ 4 ใช้การแยกตัวประกอบมาร่วมด้วย
การหารพหุนามด้วยวิธีการตั้งหารยาว
แนวคิด มีวิธีการคล้ายกับการตั้งหารตัวเลขทั่วไป โดยที่
รูปแบบการหารของตัวเลขปกติ คือ
m = nq + r โดยที่ m คือตัวตั้ง n คือตัวหาร q คือผลหาร r คือเศษ |
รูปแบบ การหารของพหุนาม คือ
P(x) = N(x)Q(x) + R(x) โดยที่ P(x) คือพหุนามที่เป็นตัวตั้ง N(x) คือพหุนามที่เป็นตัวหาร Q(x) คือพหุนามที่เป็นที่เป็นผลหาร R(x) คือพหุนามที่เป็นที่เป็นเศษ |
ตัวอย่างที่ 1
ลองมาหาร x3 -4x -3x2 +12 ด้วย x + 2 กันครับ
วิธีทำ เมื่อจัดเรียงกำลังของตัวแปรจากมากไปหาน้อย
จะได้ตัวตั้ง เท่ากับ x3 -3x2 -4x +12
ขั้นตอนการหาร
|
อธิบายขั้นตอน
|
เขียนพหุนามให้อยู่รูปของการหารยาว โดยตัวตั้งอยู่ในเครื่องหมายหาร และตัวหารอยู่ด้านหน้าเครื่องหมาย
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ x3 โดยนำ (x + 2) คูณกับ x2 จะได้ x3 +2x2 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้คือ -5x2 ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนต่อท้าย คือ -4x
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -5x2 โดยนำ (x + 2) คูณกับ -5x จะได้ -5x2 -10x เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้ ตือ 6x ไว้ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนต่อท้าย คือ +12
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ 6x โดยนำ (x + 2) คูณกับ 6 จะได้ 6x +12 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ ปรากฏว่า ได้ผลลบ เท่ากับ 0
จะได้ว่า ตัวตั้ง P(x) คือ x3 -3x2 -4x +12 ตัวหาร N(x) คือ x+2 ผลหาร Q(x) คือ x2 -5x +6 เศษ R(x) คือ 0 เป็นการหารที่ลงตัว |
ตัวอย่างที่ 2
ลองมาหาร 4x4 -6x3 +x +3 ด้วย 2x2 + 2 กันครับ
วิธีทำ จะพบว่ากำลังของตัวแปรบางตัวหายไป
ขั้นตอนการหาร
|
อธิบายขั้นตอน
|
เขียนพหุนามให้อยู่รูปของการหารยาว โดยตัวตั้งอยู่ในเครื่องหมายหาร และตัวหารอยู่ด้านหน้าเครื่องหมาย พจน์ที่ขาดหายคือ x2 ไปให้นำมาเขียนด้วยโดยเติม 0 ไว้ด้านหน้า
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ 4x4 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ 2x2 จะได้ 4x4 +6x2 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้คือ -6x2 ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนไว้ด้านหน้า คือ -6x3
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -6x3 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ -3x จะได้ -6x3 -9x เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้ ตือ -10x ไว้ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนไว้ด้ารหน้า คือ -6x2
| |
กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -6x2 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ -3 จะได้ -6x2-9 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ ปรากฏว่า ได้ผลลบ เท่ากับ 10x +12 ซึ่งไม่สามารถหารต่อไปได้ เพราะกำลังของตัวหารคือ 2x2 + 3 มากกว่ากำลังตัวหารคือ 10x+12
จะได้ว่า ตัวตั้ง P(x) คือ 4x4 -6x3 +x +3 ตัวหาร N(x) คือ 2x2 + 3 ผลหาร Q(x) คือ 2x2 -3x -3 เศษ R(x) คือ 10x +12 เป็นการหารที่ไม่ลงตัว |
ขอบคุณมากงับ เข้าใจบทเรียนขึ้นเยอะเลย
ตอบลบ10x+4
ตอบลบx - ได้เท่าไหร่คะ
ตอบลบx-(xส่วน2)
ลบXยกกำลัง3=2แล้วx8 ได้เท่าไหร่ครับ
ลบ2x-3 ไปหาร 12A^2-6A+40 ได้เท่าไหร่ครับ
ตอบลบ