พหุนาม คือ อะไร

พหุนาม (Polynomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเอกนามหรือผลบวกของบวกหรือการลบของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป พหุนาม = เอกนาม1 + เอกนาม2 + เอกนาม3 + ... เอกนามn

ตัวอย่าง

พหุนาม	เกิดจาก
a + 2	2 เอกนามบวกกัน
x + xy	2 เอกนามบวกกัน
x2 - 3x + 4	เกิดจาก 3 เอกนามบวก-ลบกัน
x2 + xy – y2 + 1	เกิดจาก 4 เอกนามบวก-ลบกัน

 ดีกรีหรือกำลังของพหุนาม  ให้เอาดีกรีสูงสุดของเอกนามเป็นดีกรีของพหุนาม
ตัวอย่าง

พหุนาม	ดีกรีของพหุนาม	ดูจาก
x3 +5x2	3	x3
x4 +x2 -4	4	x4
4 – x4 + x5	5	x5
xy – 8	2	xy
x2y – 5x2	3	x2y
x5 + x4y3	7	x4y3
a2b + 4ab2 - a2b2	4	a2b2

ตัวอย่างการคำนวณตัวอย่างชุดที่ 1  การบวกพหุนาม ใช้หลักการ นำเอกนามที่เหมือนกันมาบวกกัน

1) (a + 7) + (3a – 4)     = a + 7 + 3a – 4     = 4a – 3	2) (5a +b) + (a –b)     = 5a +b +a –b     = 6a
3) (6a2 + 3) + (a – 2a2)    = 6a2 +3 -a –2a2    = 4a2 –a +3	4) (x2 +5x –7) + (2x2 –x +10)   = x2 +5x –7 + 2x2 –x +10   = 3x2+4x +3
5) (x3 + x2 -4) + (x3 +7x2 -5x)   = x3 + x2 -4 + x3 +7x2 -5x   = 2x3 + 8x2 -5x -4	6) (x + 6y) + (2x – 8y) + (5x + y)   = x + 6y + 2x – 8y + 5x + y   = 8x - y

สมบัติที่ต้องทราบเพิ่มเติม คือ
  1) a(b + c) = ab + ac  เรียกว่า สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย
  2) -(a - b) = -a + b

ตัวอย่างชุดที่ 2  การลบพหุนาม

1) (5x – 3) – (2x –7)   = 5x –3 –2x +7   = 3x + 4	2) (2x –y) – (5x –y)   = 2x –y –5x +y   = -3y
3) 4(x +1) -2(x +5)   = 4x +4 –2x –10   = 2x –6	4) 3(x2 -2x -4) – (x2 -5x +7)   = 3x2 -6x –12 –x2 +5x -7   = 2x2 -x -19
5) -5(x3 –7x) +6(x2 +5) – (–9x3 +4x2)   = -5x3 +35x +6x2 +30 +9x3 –4x2   = 4x3 +2x2 +35x +30	6) (11x3 +5x2 -8x –15) – 5(2x3 +x2 -4x -3)   = 11x3 +5x2 -8x –15 –10x3 -5x2 +20x +15   = x3 +12x

การคูณเอกนามกับพหุนาม  หลักการ ใช้สมบัติการแจกแจงมาใช้ด้วยตัวอย่างที่ 1

1) 2(x +4) = 2x +8	2) 3(x –2y +1) = 3x –6y +3
3) -7(x2 + 3xy -4)   = -7x2 -21xy + 28	4) -5(2x3 +8x2 –x +4)    = -10x3 -40x2 +5x -20
5) 2(x -7) + 3(x +2y)    = 2x –14 +3x +6y    = 5x +6y –14	6) 5(x –4) -2(x+7)    = 5x –20 -2x -14    = 3x -34
7) (10a -5) – (b -5)    = 10a –5 –b +5    = 10a –b	8) 5m –2(3n +8m)    = 5m -6n –16m    = -11m –6n
9) -4(a +2b -C) + 2(a -5b -2c)    = -4a –8b +4c +2a -10b -4c    = -2a –18b	10) 3(x3 +x2 -2) -2(x3 +x2 +4)    = 3x3 +3x2 -6 –2x3 -2x2 -8    = x3 + x2 -14
11) 7(x2 +3xy + 4x2y) –7(x2 –5xy + x2y)   = 7x2 +21xy + 28x2y –7x2 +35xy –7x2y   = 56xy + 21x2y

ตัวอย่างชุดที่ 2
1) x(x² + 2x -1) = x³ + 2x² – x
2) x²(x² – x – y) = x⁴ – x³ –x²y
3) 2x(x⁵ + 3) = 2x⁶ + 6x
4) 3y²(y² + y - 5) = 3y⁴ + 3y³ -15y²
5) -2x³(x² + 5xy – y) = -2x⁵ – 10x⁴y +2x³y
6) xy(x² + xy – y³) = x³y + x²y² – xy⁴
7) a²b²(a² + a²b³ – b⁴) = a⁴b² a⁴b⁵ – a²b⁶
8) -6ab⁵(a +4a²b – 2b) = -6a²b⁵ -24a³b⁶ +12ab⁶

การคูณพหุนามกับพหุนาม  หลักการที่นำมาใช้คือ (a +b)(x +y) = a(x +y) + b(x +y) = ax +ay +bx +byตัวอย่างชุดที่ 3

1) (x +3)(x +5)   = x(x +5) +3(x +5)   = x2 +5x +3x +15   = x2 +8x +15	2) (x -7)(x+7)   = x(x +7) -7(x+7)   = x2 +7x -7x -49   = x2 –49
3) (2x +3)(x -1)   = 2x(x-1) +3(x-1)   = 2x2 -2x +3x -3   = 2x2 +x –3	4) (x2 +4)(x -3)   = x2(x-3) +4(x-3)   = x3 –3x2 +4x -12
5) (x2 +4)(x2 -6)   = x2(x2 -6) +4(x2 -6)   = x4 -6x2 + 4x2 -24   = x4 -2x2 -24	6) (x +3)(x +y -3)   = x(x +y -3) +3(x +y -3)   = x2 +xy -3x +3x +3y –9   = x2 +xy + 3y – 9
7) (ab +4)(a +3)   = ab(a + 3) +4(a +3)   = a2b +3ab +4a + 12	8) (a2 +b)(a2 -b)   = a2(a2 -b) +b(a2 -b)   = a4 –a2b +a2b –b2   = a4 –b2
9) (a -5)(a2 –a +8)   = a(a2 –a +8) -5(a2 –a +8)   = a3 –a2 +8a -5a2 +5a - 40   = a3 -6a2 +13a -40	10) (a -1)(a +2)(a -3) = {a(a+2) –(a+2)}(a-3) = {a2 + 2a –a -2}(a-3) = (a2 +a -2)(a -3) = (a2 +a -2)(a) + (a2 +a -2)(-3) = a3 +a2 -2a -3a2 -3a +6 = a3 -2a2 -5a +6

การหารพหุนาม
   การหารพหุนามมีแนวคิดและทำคล้ายกับการคูณและหารเศษส่วน คือ ใช้หลักการว่า

ตัวอย่างชุดที่ 1

ตัวอย่างชุดที่ 2  ใช้ความรู้เรื่องเลขยกกำลังมาใช้ร่วมกันกับการแยกเศษส่วน

ตัวอย่างชุดที่ 3 ใช้หลักการหารที่ว่า

เศษส่วนที่มีเครื่องหมายหารอยู่ด้านหน้าให้เปลี่ยนเครื่องหมายหารเป็นคูณ และสลับเศษส่วน

ตัวอย่างชุดที่ 4  ใช้การแยกตัวประกอบมาร่วมด้วย

 การหารพหุนามด้วยวิธีการตั้งหารยาว

 แนวคิด มีวิธีการคล้ายกับการตั้งหารตัวเลขทั่วไป โดยที่

รูปแบบการหารของตัวเลขปกติ คือ   m = nq + r    โดยที่  m คือตัวตั้ง  n คือตัวหาร  q คือผลหาร  r คือเศษ

รูปแบบ การหารของพหุนาม คือ    P(x) = N(x)Q(x) + R(x)  โดยที่  P(x) คือพหุนามที่เป็นตัวตั้ง  N(x) คือพหุนามที่เป็นตัวหาร  Q(x) คือพหุนามที่เป็นที่เป็นผลหาร  R(x) คือพหุนามที่เป็นที่เป็นเศษ

ตัวอย่างที่ 1
ลองมาหาร  x³ -4x -3x² +12 ด้วย x + 2  กันครับ
วิธีทำ เมื่อจัดเรียงกำลังของตัวแปรจากมากไปหาน้อย
  จะได้ตัวตั้ง เท่ากับ   x³ -3x² -4x +12

ขั้นตอนการหาร	อธิบายขั้นตอน
	เขียนพหุนามให้อยู่รูปของการหารยาว โดยตัวตั้งอยู่ในเครื่องหมายหาร และตัวหารอยู่ด้านหน้าเครื่องหมาย
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ x3 โดยนำ (x + 2) คูณกับ x2 จะได้ x3 +2x2 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้คือ -5x2 ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนต่อท้าย คือ -4x
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -5x2 โดยนำ (x + 2) คูณกับ -5x จะได้ -5x2 -10x เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้ ตือ 6x ไว้ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนต่อท้าย คือ +12
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ 6x โดยนำ (x + 2) คูณกับ 6 จะได้ 6x +12 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ ปรากฏว่า ได้ผลลบ เท่ากับ 0 จะได้ว่า  ตัวตั้ง P(x) คือ x3 -3x2 -4x +12  ตัวหาร N(x) คือ x+2  ผลหาร Q(x) คือ x2 -5x +6  เศษ R(x) คือ 0  เป็นการหารที่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 2
ลองมาหาร  4x⁴ -6x³ +x +3  ด้วย 2x² + 2  กันครับ
วิธีทำ จะพบว่ากำลังของตัวแปรบางตัวหายไป

ขั้นตอนการหาร	อธิบายขั้นตอน
	เขียนพหุนามให้อยู่รูปของการหารยาว โดยตัวตั้งอยู่ในเครื่องหมายหาร และตัวหารอยู่ด้านหน้าเครื่องหมาย  พจน์ที่ขาดหายคือ x2 ไปให้นำมาเขียนด้วยโดยเติม 0 ไว้ด้านหน้า
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ 4x4 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ 2x2 จะได้ 4x4 +6x2 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้คือ -6x2 ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนไว้ด้านหน้า คือ -6x3
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -6x3 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ -3x จะได้ -6x3 -9x เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ เขียนผลที่ได้ ตือ -10x ไว้ด้านล่าง พร้อมกับนำพจน์ถัดไปลงมาเขียนไว้ด้ารหน้า คือ -6x2
	กำจัดพจน์ที่อยู่หน้าสุด คือ -6x2 โดยนำ (2x2 + 3) คูณกับ -3 จะได้ -6x2-9 เขียนผลคูณที่ได้ ไว้ด้านล่าง ให้พจน์ที่เหมือนกันอยู่ตรงกัน แล้วทำการลบ ปรากฏว่า ได้ผลลบ เท่ากับ 10x +12 ซึ่งไม่สามารถหารต่อไปได้ เพราะกำลังของตัวหารคือ 2x2 + 3 มากกว่ากำลังตัวหารคือ 10x+12 จะได้ว่า  ตัวตั้ง P(x) คือ 4x4 -6x3 +x +3  ตัวหาร N(x) คือ 2x2 + 3  ผลหาร Q(x) คือ 2x2 -3x -3  เศษ R(x) คือ 10x +12  เป็นการหารที่ไม่ลงตัว

ในหัวข้อนี้เราจะมาศึกษาและทำความรู้จักกับเอกนาม ซึ่งเป็นพื้นฐานที่สำคัญอีกเรื่องหนึ่งในการเรียนคณิตศาสตร์  เอกนาม คือ อะไร   เอกนาม (Monomial) คือ นิพนธ์ที่เป็นผลคูณระหว่างตัวเลขหรือค่าคงที่และตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไปและกำลังของแต่ละตัวแปรนั้นไม่น้อยกว่า 0 (มากกว่า หรือ เท่ากับ 0) ซึ่งอยู่ในรูปแบบ เอกนาม = ค่าคงตัว (ตัวเลขใดๆ) x ตัวแปร (ที่มีเลขชี้กำลังเป็น 0 หรือจำนวนเต็มบวก)   ตัวอย่าง  3x อ่านว่า สามเอ็กซ์ หมายถึง 3×x  -5y อ่านว่า ลบห้าวาย หมายถึง -5×y  xy อ่านว่า เอ็กซ์วาย หมายถึง x×y  x2y อ่านว่า เอ็กซ์กำลังสองวาย หมายถึง x×x×y  xy2z3 อ่านว่า เอ็กซ์วายกำลังสองแซดกำลังสาม หมายถึง x×y×y×z×z×z  0.6ab4 อ่านว่า ศูนย์จุดหกเอบีกำลังสี่ หมายถึง 0.6×a×b×b×b×b หมายเหตุ1) นิพจน์ (Expression) คือ ข้อความในรูปสัญลักษณ์ เช่น 8, 9a, -4x + 7, a +2b – 3 ฯลฯ 2) 5 เป็นเอกนามตัวด้วย เพราะเราเขียน 5 ในรูปที่มีตัวแปรได้ คือ 5x0  (x0 = 1)3) นิพนธ์ที่ไม่เป็นเอกนาม เช่น   xy-3 ไม่เป็นเอกนามเพราะ  y มีกำลังติดลบ  ไม่เป็นเอกนามเพราะเอกนามที่มีตัวแปรอยู่ในรูปเศษส่วนที่กำลังเป็นบวก 4) สัมประสิทธิ์ของเอกนาม คือ ค่าคงที่ที่อยู่หน้าตัวแปร 5) ดีกรีของเอกนาม คือ ผลบวกของเลขชี้กำลังทั้งหมดตัวของแปร 6) a = 1×a   (ตัวแปรใดที่ไม่เห็นตัวเลข ให้คิดว่ามี 1 คูณอยู่ด้านหน้า) 7) x = x1    (ตัวแปรใดที่ไม่เห็นกำลัง ให้คิดว่ามีกำลังเท่ากับ 1) ตัวอย่าง  เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรี 3 3 0 (มาจาก3x0) 5x 5 1 (มาจาก5x1) -y2 -1 2 3xy 3 2 (1+1) 4x2y 4 3 (2+1) 0.5ab3 0.5 4 (1+3) -6a4b2 -6 6 (4+2)  11a3bc5 11  9 (3+1+5)                                                                                         เอกนามคล้าย  คือ  เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน ตัวอย่าง 2xy คล้ายกับ 7xy -7xy2 คล้ายกับ xy2 4x3y คล้ายกับ –x3y xy คล้ายกับ yx abc คล้ายกับ cba 2ab5  คล้ายกับ -2ab5 6a3b2c คล้ายกับ 9a3cb2 xy ไม่คล้ายกับ xy2 3xyz2 ไม่คล้ายกับ 3xy2z 3a2 ไม่คล้ายกับ 3b2 ตัวอย่างการคำนวณ ตัวอย่างชุดที่ 1 การบวก – ลบเอกนามที่คล้ายกัน 1) 4a + a = 5a 2) 2a + 7a = 9a 3) 8b + 5b = 13b 4) 6x + 4x = 10x 5) 4x – x = 3x 6) 7ab - 3ab = 4ab 7) x2 + 2x2 – 3x2 = 3x2 – 3x2 = 0 8) 9a2b - 4a2b + a2b = 5a2b+a2b = 6a2b ตัวอย่างชุดที่ 2 การบวก – ลบเอกนามที่คล้ายกัน 1) 2a + 3 + a – 7 = 3a – 4 2) 7a – 5a + 8a – 2 = 10a - 2 3) x + 6 – 4x = -3x + 6 4) 6c + 3a -5c = 3a + c 5) 5x2 + 3x – 2x2 -9x = 3x2 -6x 6) 8x2 + 5 –2x2 + 5x = 6x2 +5x + 5 7) 3x2y + 5x2 – 6x2 +2x2y = 5x2y – x2    8) 4y3 - x2y – 6y3+5x2y + 2x2 = 2x2+4x2y–2y3 การคูณเอกนาม  เอกนามสามารถคูณกันได้ด้วยหลัการการนี้ ผลคูณของเอกนาม = (ผลคูณของสัมประสิทธิ์)×(ผลคูณของตัวแปรแต่ละตัว) ในการคูณแปรตัวนี้เรานำสมบัติเรื่องของการคูณเลขยกกำลังใช้ด้วยคือ 1) am × an = am+n 2) (am)n = am×n 3) (ab)n = anbn 4) a1 = a ตัวอย่างชุดที่ 3 การคูณเอกนาม 1) a3×a×a5 = a3+1+5 = a9 2) -5a3×2a2 = [-5×2]×a3+2 = -10a5 3) (2x)(-4x2)(x3) = [2×(-4)][x1+2+3] = -8x6 4) (x2y)(x3y2)(y5) = x2+3y1+2+5 = x4y8 5) -2m5×(7m2n)x(-5n8) = 70m7n9 6) (3x5)3 = (3x5)×(3x5)×(3x5) = 27x15 7) (-2xy2)4 = (-2xy2)×(-2xy2)×(-2xy2)×(-2xy2) = 16x4y8 8) (-3m4n2)3 = -27m12n6 การหารเอกนาม เอกนามสามารถหารกันได้ด้วยหลัการการนี้ ผลหารของเอกนาม = (ผลหารของสัมประสิทธิ์)×(ผลหารของตัวแปรแต่ละตัว) ในการคูณแปรตัวนี้เรานำสมบัติเรื่องของการคูณเลขยกกำลังใช้ด้วยคือ ตัวอย่างชุดที่ 4 การหารเอกนาม   เมื่อ a, x และ y เป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากับ 0